動的挙動、回路設計、および共存するアトラクターを備えた新しい対称カオスシステムの同期

Scientific Reports volume 13、記事番号: 1893 (2023) この記事を引用

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本稿では、３次元カオス回路法の構築を適用することにより、奇妙な特性を持つ新しい３次元カオスシステムを紹介する。この系には複数の平衡と豊富に共存するアトラクターが存在します。数学的モデルが開発され、平衡点の詳細な安定性解析が実行され、位相面プロットとリアプノフ指数スペクトルによって確認された周期 2 倍分岐パターンの重要な結果が得られます。初期値と固有の制御パラメータを変更することにより、ダブルスクロールカオスアトラクターは一対の対称的な特異アトラクターに分割されます。次に,初期条件に関して局所的な引力盆地を調査した。次に、Multisim シミュレーションツールによって生成された回路合成結果により、このシステムの自励特性が検証されます。最後に,フィードバック制御技術を使用して,このシステムの差分同期を研究した。主な結論は、差分同期の有効性と信頼性を証明します。

1963 年、「カオス」は気象力学に関する数値実験で初めて発見されました1。これは一見ランダムな動きであり、決定論的な非線形システムでは、ランダムな要素を追加することなくランダムのような動作が発生することを意味します。カオス理論は非線形科学の一分野として、医療診断 2、経済 3、画像暗号化 4、5、6、ニューラルネットワーク 7、微弱信号検出 8、9、安全な通信 10 などに広く応用されています。カオスの特性は、初期条件とシステムパラメーターに大きく依存します。、多くの興味深い複雑な非線形現象を明らかにします。共存アトラクターの存在はシステムにさまざまなオプションの定常状態を提供するため、近年徐々に研究のホットスポットになりつつあります。共存アトラクタとは、異なるパラメータと初期条件で 2 つ以上のアトラクタが生成されることを示します 11。典型的な例は、ローレンツ系のバタフライアトラクターが、これまで探索されていないパラメーター空間領域で一対の対称的な特異アトラクターに分割されることです 12。ケンネら。は、三次非線形項を含む 3 次元ジャークシステムを提案し、アトラクターの共存がパラメーターの変動と密接に関連していることを発見しました。バオら。はメモリスタカオス回路を構築し、無数のアトラクターの共存を観察しました14。カオスの特異点と不安定性は、隠れたアトラクターと自己励起アトラクターによって説明できます。自己励起とは、引力の盆地が不安定な平衡状態から励起されることを意味します15。もう 1 つは、複数の平衡点と安定した平衡状態を持つアトラクター、または平衡をまったく持たないアトラクターとして定義されます。これまで、自励カオス振動、隠れ振動、共存する複数のアトラクターの動作など、複雑な動的動作を伴う非線形電子回路が理論的および数値的に研究されてきました。

インターネット技術の急成長に伴い、情報送信のセキュリティは公衆にとって非常に重要な意味を持つようになりました。現在、カオス同期は安全な通信にうまく適用されています19,20。カオス自己同期法の提案と 2 つのカオスシステム 21 の同期の実現に基づいて、完全同期 22、反同期 23、一般化同期 24、位相および逆位相同期 25,26、射影同期 27 など、さまざまなカオス同期方式が開発されています。、組み合わせ同期28、29、組み合わせ間同期30、および複合同期31。まず文献３２では、線形重み付け結合法を用いて２つの駆動系と１つの応答系の間の同期を実現する差分同期法が紹介されている。スケーリング係数を柔軟に選択できるため、結合システムの幾何学的トポロジがより複雑になり、安全な通信パフォーマンスを向上させるためにカオスへの経路の予測がより困難になります。上記のカオス同期方式を実現するために、線形および非線形フィードバック制御 33、スライディングモード制御 34、アクティブ制御 35、適応制御 36、ニューラルネットワーク 37 など、多くの制御技術が開発されています。デュら。時間遅延のある分数次数メモリスタベースのニューラルネットワークの有限時間同期の基準を導き出しました 38。王ら。は、多重構造カオスアトラクターを設計するためのメムリスティブシナプス制御方法を提案し、オブザーバーベースのコントローラーを介してメムリスティブニューラルネットワークの同期問題を調査しました。

本研究では、安定点や平衡点を容易に制御できる複数の安定状態を有する三次元非線形カオス系を提案することを目的としている。ほとんどの既存システムの 2 次非線形項のみとは異なり、私たちのシステムは 3 次非線形項を追加することで動的特性をより複雑にします。さらに、安定変数パラメータを導入することにより、ヤコビン行列を解き、安定状態の特性のポートレートをプロットして、不安定焦点、安定ノード、安定点の詳細を取得します。さらに、最大のリアプノフ指数のスペクトルと一致する分岐図を使用して、カオスの動作と共存するアトラクターを調査します。具体的には、この論文の貢献は主に 4 つあります。(1) 設計されたシステムは、統合システム内の自励発振器に適応可能です。（2）カオスシステムの回路はMultisimソフトウェアによって設計およびシミュレーションされ、数値シミュレーション結果を効果的に検証できます。 (3) 線形フィードバック制御は、差分同期で使用される 3 次非線形性を持つカオスシステムに適しています。 (4) 同期スキームに基づいた結果は、安全な通信において実用的です。

2013 年に、二次非線形性を持つ一連の 3 次元カオスシステムが Jafari と Sprott によって提案されました 41。ここで、Sprott A システムと NE8 システムの数学モデルは、次の自律微分方程式によって表現できます。 (1) と (2)

スプロットAシステム：

NE8システム：

ここで、\({x}_{1}\)、\({y}_{1}\)、\({z}_{1}\)、および \({x}_{2}\)、\ ({y}_{2}\)、\({z}_{2}\) は状態変数、\(a\mathrm{ および }b\) は定数パラメーターです。

注目すべきことに、上記の系には平衡状態のない複数の安定性が存在しており、共存するアトラクターの存在を示しています 42。直観的に、図 1 はパラメータ a = 1 および b = 1.47 を持つシステムのカオスアトラクターを示しています。次に,Sprott A系に3次非線形項を加えて新しい3Dカオス系を構築した。したがって、このシステムの対応する数学モデルは次のように定式化されます。

ここで、\(x\)、\(y\)、\(z\) は状態変数、\(v\) は定数パラメーターです。

システム (1) および (2) のカオスアトラクター (a) パラメーター a = 1、初期条件 (− 0.1、− 1、0.3)。 (b) パラメータ b = 1.47 および初期条件 (0、0.1、0)。

パラメータ \(v\) が調整可能な変数を表す場合、\(\dot{x}=0\)、\(\dot{y}=0\)、を解くことによって系 (3) の平衡点を簡単に推定できます。 \(\ドット{z}=0\):

平衡点は \(S=(\widehat{x},\widehat{y},\widehat{z})\) として表すことができます。

式から (4) から、\(\widehat{y}\) と \(\widehat{z}\) が状態変数 \(\widehat{x}\) とパラメータ \(v\ の影響を受けることを理解するのは自明です。）。したがって、\(S\) はパラメータ \(v\) によって変化します。 (3) を平衡点の周りで線形化すると、ヤコバン行列は次のように表すことができます。

特性方程式は次のように導出されます。

ここで、 \(\lambda\) は式 (1) の固有値です。 (6)と

定数パラメータ \(v\) は時間発展とともに [\(-\) c, c] の範囲で変化するため、\(\widehat{x}\)、さらに \(\widehat {y}\)、および \(\widehat{z}\)。正確な点と平衡点の安定性を調べるために、パラメータ A の境界を [− 2, 2] として設定しました。その結果は図 2 に直感的に示されています。

\(\nu \in [-\,\mathrm{2,2}]\) を使用して数値的にシミュレートされた平衡点と安定性解析。

ヤコビ行列の固有値の数値解を解くことを避けるために、2 次および 3 次の非線形項の存在により、平衡点の安定性が状態図の軌跡によって記述されます。ラウス・ハーヴィッツの基準によれば、平衡点の安定性は、式(1)を解くことによって推定できます。 (6)。このカオス系では、平衡点は不安定なサドル焦点と安定なノードの 2 つのタイプに分類されます。負の実数固有値、または負の実数部を持つ複素固有値は安定ノードです。逆に、正の実数固有値または正の実数部を持つ複素固有値は不安定ノードです。ルートが異なる符号を持つ実固有値である場合、これらの固有値はサドルノードです。

図2から、平衡点の軌跡はパラメータ \(v\) とともに \([-\,2, 2]\) の範囲で時間の経過とともに変化することが観察できます。赤い線は不安定なサドルフォーカスを示し、青い線は安定したノードを示します。図 2 の (a)、(b)、(c) とラベル付けされた 3 つの図は、平衡点の 3 次元の値を表します。

初期条件と調整パラメータを変更することにより、位相軌跡とダイナミクス動作が定性的に調査されます。分岐図と初期条件 \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right), {x}_{02}=(- \,0.1,-\,2, 0.1)\)は図3a、bに示されており、システム内のさまざまな軌道のカオスアトラクター、異なる周期のリミットサイクル、周期倍増分岐、および共存分岐の存在が証明されています。。ほとんどの論文のシステムとは異なり、この論文で開発されたシステムは、周期状態と準周期状態の周期 2 倍分岐です。図3bによれば、パラメータ\({\nu }_{1}=0.147\)と\({\nu }_{2}=0.156,\)をそれぞれ設定すると、対応するアトラクタは図3に示されます。ここで、アルゴリズム (A. Wolf、JB Swift) によって計算されたリアプノフ指数は \({\lambda }_{11}=0.0153,{\lambda }_{12}=- \,0.0159,{\lambda }) です。 _{13}=-\, 2.1108\) および \({\lambda }_{21}=0.0040,{\lambda }_{22}=-\, 0.2545,{\lambda }_{23}=-\ 、1.7009\)、システムがそれぞれ準周期的状態と周期的状態にあることを示します。さまざまな条件下で、系はホップ分岐を起こして連続発振状態になり、その後、倍周期分岐を経てカオスに陥ります。通常の振動挙動は突然現れたり消えたりして、システムの非線形特性の複雑さを反映して、共存するアトラクターの出現につながります。

初期値 (0.1, 2, 0.1) と (− 0.1, − 2, 0.1) では、\(v\) としての系 (3) の分岐図とリアプノフスペクトルが変化します。

初期値 (− 0.1、− 2、0.1) の場合、x–y 平面における系 (3) の状態図: (a) \({\nu }_{1}=0.147\) の準周期状態。 (b) \({\nu }_{1}=0.156\) の周期状態。

最大のリアプノフ指数は動特性を測定するための重要な定量的指標です。これは、位相空間内の隣接する軌道間のシステムの収束または発散の平均指数関数的速度を表します。システム状態の臨界しきい値は、システムの最大リアプノフ指数の結合状態から間接的に取得できます。 \(v\) を 0.14 から 0.32 まで変化させたときの、単一パラメータのリアプノフ指数スペクトルが図 3c に描画されます。マーカーポイントは、3 つのリアプノフ指数の符号から生じるシステムの周期状態が \((0,-,-)\) であることを示していることがわかります。分岐図が最大のリアプノフ指数のスペクトルと一致することは注目に値します。特に、最大のリアプノフ指数を決定するためにこの研究で使用されたアルゴリズムは、(A. Wolf、JB Swift) で提案されました。

共存するアトラクターは、システムがさまざまな要件に対応できるように複数のオプションの定常状態を提供します。パラメータ \(v=0.21\) と初期条件 (0.1, 2, 0.1) の場合、ダブルスクロールカオスアトラクターが図 5 に示されています。システムのリアプノフ指数は \({\lambda }_{1} =0.0864,{\lambda }_{2}=-0.0037,{\lambda }_{3}=-\,1.3122\)。 LE の合計が負であることが導出されます。

これはシステムの消散を示しています。対応するリアプノフ指数次元は次のとおりです。

ここで、変数 \(j\) は \({\sum }_{i=1}^{j}{\lambda }_{i}>0\) および \({\sum }_{i=1}^ を満たします) {j+1}{\lambda }_{i}<0\)。リアプノフ指数次元は分数であり、システム散逸であるため、対称的なストレンジアトラクターが観察できます。

システムのカオスアトラクター (3) パラメータ \(\nu =0.21\) と初期条件 (0.1, 2, 0.1)。

パラメータ \(v=0.26\) を変更すると、図 6 に示すように、初期値 (± 0.1、± 2、0.1) を持つ 2 つの独立したアトラクターがシステム (3) に生成されます。赤い線は、次のアトラクターを示します。初期条件 \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right)\) であり、青い線は初期条件 \({x}_{02}=(-\,0.1) のアトラクターを示します、-\,2, 0.1)\)。アトラクターは同じ正の最大リアプノフ指数 \({\lambda }_{1}=0.0758\) とフラクタルリアプノフ次元 \({D}_{\lambda }=2.078\) を持っているため、カオスであることが確認できます。。したがって、図 5 のダブルスクロールカオスアトラクターは 2 つの単一アトラクターに分割されます。 2 つの奇妙なアトラクターが Z 軸に関して回転対称であることを確認するのは簡単です。

パラメーター \(\nu =0.26\) と初期条件 (\(\pm\) 0.1, \(\pm\) 2, 0.1) を持つシステム (3) の対称特異アトラクターのペア。

周期 2 倍分岐と共存分岐は、初期条件 (± 0.1、± 2、0.1) でシステム (3) の位相ポートレートを生成することによって視覚的に説明できます。図 7 に示すように、システム (3) は \(v=0.1, 0.15, 0.3\) に対してそれぞれ周期 1、周期 2、カオスを実行します。これは、周期 2 倍分岐によって生成されるカオスのプロセスを伴うことを意味します。共存分岐によって。

初期条件（± 0.1、± 2、0.1）での x – y 平面内の共存する対称アトラクターの位相ポートレート：（a） \(\nu =0.1\)。 (b) \(\nu =0.15\)。 (c) \(\nu =0.3\)。

図7cに示す共存する対称アトラクターについて、対応するアトラクター盆地3つの異なる平面が図8に示されています。紫色の領域は一対の対称ストレンジアトラクターに対応し、黒い領域は無制限の軌道を生成するための初期条件を表します。。盆地には Z 軸回転対称性と複雑なフラクタル構造が期待されています。

3 つの異なる面での魅力的な地元の盆地。 (a) \(z\left(0\right)=0.1\) の \(x\left(0\right)-y\left(0\right)\) 平面。 (b) \(y\left(0\right)=2\) の \(x\left(0\right)-z\left(0\right)\) 平面。 (c) \(x\left(0\right)=0.1\) の \(y\left(0\right)-z\left(0\right)\) 平面。

初期条件は、動的挙動を分類するための不変の尺度とみなすことができます。カオス系の場合、初期条件間のわずかな違いが時間の経過とともに解に大きな違いを引き起こす可能性があります。境界のある動作が見つかった場合は、その後、アトラクターサイズを測定することによって、カオススパイク、安定した休止、および周期的なスパイクの動的動作が分類されます。局所的な引力盆地によれば、初期条件に依存する動的挙動の安定性を明らかに区別することができる。初期条件は \((x\left(0\right), y\left(0\right), 0.1)\), \((x\left(0\right), 2, z(0) )\) と \((0.1, y\left(0\right), z(0))\) ですが、パラメーターは \(\nu =0.3\) のままです。図 8 は、\(x\left(0\right)-\mathrm{y}(0)\)、\(x\left(0\right)-z(0)\)、\(それぞれ y\left(0\right)-z(0)\) です。図 8a は、2 本の赤い線が x 軸と y 軸に平行であることを示しています。そして、初期状態 \((0.1, 2, 0.1)\) を示す 2 つの直線の交点は黒い領域に位置し、一方システムのパラメーター \(v=0.3\) です。初期条件 \((0.1, 2, 0.1)\) は、システムの初期依存の動作が不安定なカオスとして実行されることを示しています。したがって、この現象から、長期的な動的挙動は初期条件に関連していると推測できます。そして、それは不安定なカオスと安定点からなる双安定性の出現につながります。図８ｂによれば、局所引力盆地は、連続的ではなく離散的な円軌道で変化し、カオス振動子がある振動状態から別の状態に遷移することを示している。これは物理学におけるエネルギー準位の遷移に似ています。このような引力の盆地は、提案されているカオス系ではまれです。図8cの引力領域は離散的な帯状軌道で変化し、より豊かな振動特性を示すため、同期通信の安全性を高めることができます。特に、提案されたシステムのアトラクターは、その引力領域に複数の不安定な平衡場が含まれているため、隠れるのではなく自己励起します。

対称アトラクターの共存に加えて、初期値 (0.1, 2, 0.1) と (0.1, 0, 0.1) で \(v=0.3, 0.32\) の場合、2 種類の非対称共存アトラクターの状態図と対応する変数\(x\)の時系列を図9に示します。カオスアトラクターとリミットサイクルの共存、および準周期的な共存もそれぞれ図9a、bで観察できます。図9aに対応する変数\(x\)の時系列を図9c、dに示します。同様に、図 9b,e,f の関係も前者と同じです。図9d、fから、発振が開始されると過渡効果が生じ、しばらくすると安定に達します。

初期値 (0.1, 2, 0.1) と (0.1, 0, 0.1) から、共存する 2 種類の非対称アトラクターと変数 \(x\) の時系列が出現しました。

ダイナミクスを調査し、理論的なカオスモデルの実現可能性を確認するには、対応する数学モデル 43、44 の回路実装が一般的に使用されます。カオスシステムをエミュレートする電子回路は工学分野で幅広く応用されているため、電子回路を使用するのが実用的です。そこで本節では新カオス系(3)の電子回路を設計し検証する。

多くの研究 45 は、分数次数演算子は、時間領域シミュレーションにおける分数次数差積分の標準定義の下では直接実現できないことを指摘しています。システム方程式に従って直接回路を設計すると、回路は正常に動作しません。オペアンプ手法 46 を適用することにより、システム (3) の変数の状態をスケールダウンして、奇妙なアトラクターを実現する必要があります。システム方程式によると、 (3)、スケーリング変数 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) は \(X=x/2\)、\(Y=y/2\)、\(Z= z/4\)、それぞれ。ここで、\(x\)、\(y\)、\(z\) はシステム方程式の状態変数です。 (3)。このシステムは、抵抗器、コンデンサ、アナログ乗算器、オペアンプなどの一般的な電子部品を利用して実装できます。

キルヒホッフの法則を電子回路に適用することにより、提案された新しいカオスシステムの対応する回路状態方程式セットは次のように表すことができます。

ここで、\({v}_{c1}\)、\({v}_{c2}\)、\({v}_{c3}\) はコンデンサ \({C}_{それぞれ、1}\)、\({C}_{2}\)、\({C}_{3}\) です。 \({V}_{\alpha }\) は、数値システムで定数を実装するための安定した DC 電圧源です (3)。 (3) の唯一のパラメータ \(v\) は、抵抗 \({R}_{8}\) を手動で調整することで設定できることに注目してください。 3 つのスケーリング変数 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) がそれぞれ対応するコンデンサの両端の電圧を表すと推測できます。完全な回路は、電子シミュレーションプラットフォーム Multisim 上に実装されます。図 10 は、Multisim シミュレーションによって実装された設計回路を示しています。非線形カオスシステムを実現するために、回路全体には 3 つのコンデンサ、11 個の抵抗、6 つの乗算器、および 4 つのオペアンプが含まれています。 3 つの乗算器は 1/10 として設定され、他の 2 つは -1/10 として設定され、最後の乗算器は 1/1 であることがわかります。図 10 のすべての電子部品の値は次のように決定されます: \({R}_{1}={R}_{3}={R}_{7}=\) 40 \(\mathrm{k \オメガ }\)、\({R}_{2}=\) 2 \(\mathrm{k\オメガ }\)、\({R}_{4}=\) 80 \(\mathrm{k \オメガ }\)、\({R}_{5}={R}_{6}=\) 8 \(\mathrm{k\オメガ }\)、\({R}_{8}=\ ) 13.33 \(\mathrm{k\Omega }\)、\({R}_{9}=\) 50 \(\mathrm{k\Omega }\)、\({C}_{1}={ C}_{2}={C}_{3}=\) 2.2 \(\mathrm{nF}\)、および \({V}_{\alpha }=\) 1 V、ここで \({R }_{8}\) は可変抵抗器であり、さまざまな状態を実現するには抵抗値を調整する必要があります。カオス回路内の他の抵抗および静電容量パラメータは固有のものではありません。図 10 に示されている回路は発振器の 1 つの実装例にすぎず、さまざまなアプリケーションシナリオに応じて異なります。たとえば、PCB レイアウトでは、回路全体に対する寄生容量の影響を軽減するために、適切な容量の位置とパラメータを調整する必要があります。

サーキットカオスシステムの実装。

\({v}_{c1}\) と \({v}_{c2} のチャネルを接続したシステムの x-y 平面での位相ポートレートであるシミュレーション結果を図 11 に示します。 \) オシロスコープへの回路にあります。抵抗が \({R}_{8}=\) 40 \(\mathrm{k\Omega }\) に調整されると、リミットサイクルの位相ポートレートが、対応するパラメーター v とともに図 11a、d に示されます。 = 0.1。図 11b、e は、対応するパラメーター v = 0.15 で抵抗 \({R}_{8}=\) 26.67 \(\mathrm{k\Omega }\) を設定することにより、期間 2 のアトラクターを示しています。同様に、 \({R}_{8}\) の値は \({R}_{8}=\) 13.33 \(\mathrm{k\Omega }\) として、対応するパラメータ \( \nu\) =0.3、カオスアトラクターの位相ポートレートを図11c、fに示します。明らかに、回路状態式のシミュレーション結果は次のようになります。図 11 に示す (16) 式は、図 7 に示す理論的な数値位相軌道に似ています。

\({v}_{c1}\) と \({v}_{c2}\) のチャネルを使用して設計された回路から得られた対称共存アトラクター。

差分同期スキームは 2 つのマスターシステムと 1 つのスレーブシステムで構成されます。マスターシステムは次のように定義されます。

そしてスレーブシステムは次のように考えられます

ここで \(x={[{x}_{1}\left(t\right),{x}_{2}\left(t\right),{\dots ,x}_{n}(t) ]}^{T}\)、\(y={[{y}_{1}\left(t\right),{y}_{2}\left(t\right),{\dots ,y }_{n}(t)]}^{T}\), \(z={[{z}_{1}\left(t\right),{z}_{2}\left(t\ right)、{\dots ,z}_{n}(t)]}^{T}\) はマスターシステムとスレーブシステムの状態ベクトル、\(F(x),G(y),H(z) :\) R \(\to R\) は連続ベクトル関数であり、\(U\left(x,y,z\right):R\times R\times R\to R\) は次のようなコントローラーです。フィードバック制御技術を使用して設計されます。

R\ に 3 つの定数行列 \({M}_{1},{M}_{2},{M}_{3}\) が存在する場合、マスターシステムとスレーブシステムは差分同期であると言われます。満足のいく \(\underset{t\to \infty }{\mathrm{lim}}\Vert {M}_{3}z-({M}_{2}y-{M}_{1}x)\ Vert =0\) ここで、\({M}_{3}\ne 0\) と \(\Vert \cdot \Vert\) は行列のノルムを表します。

ケース 1 定数行列 \({M}_{3}\ne 0\)、\({M}_{2}\ne 0\)、および \({M}_{1}=0\) の場合、差分同期は完全同期モードに縮退します。

ケース 2 定数行列 \({M}_{3}\ne 0\)、\({M}_{2}=0\)、および \({M}_{1}\ne 0\) の場合、差分同期は非同期モードに変質します。

Lyapunov の安定性原理によれば、システムの安定性を決定するために線形化法が使用されます (3)。式を変換します。 (3)～

ここで \(X={(x,y,z)}^{\tau }\)。テイラー展開定理に従って次のことを得る

係数行列 A の特性方程式は次のように導出されます。

ここで、 \(\lambda\) は式 (1) の固有値です。 (16)。

係数行列 A の固有値は \({\lambda }_{1}=0\)、\({\lambda }_{\mathrm{2,3}}=(1\pm \sqrt{15}i) です。 /4\)。固有値 \({\lambda }_{\mathrm{2,3}}\) の実数部が正であるため、システムは不安定です。

差分同期方式を定式化するには、システム (1) とシステム (2) を 2 つのマスターシステムとして考え、制御機能を持つスレーブシステムを次のように指定します。

ここで、\({u}_{1}(t)\)、\({u}_{2}(t)\)、\({u}_{3}(t)\) は、設計される。行列 \({M}_{3}=diag({m}_{31},{m}_{32},{m}_{33})\), \({M}_{2) とする}=diag\left({m}_{21},{m}_{22},{m}_{23}\right)\) および \({M}_{1}=diag({m} _{11},{m}_{12},{m}_{13})\) の場合、誤差関数は次のように定義できます。

誤差関数 (18) を導出することで、誤差システムを導出できます。

制御関数は、誤差システムの線形項を簡素化し、線形フィードバックコントローラーを追加しながら取得されます。

制御機能を誤差系に組み込むと、誤差系は次のように縮小されます。

線形誤差システムのヤコビアン行列 (18) は次のとおりです。

ラウス・ハーヴィッツの基準に従って、ヤコビアン行列の固有値が負の場合、誤差システムは安定化するため、考慮される 3 つのカオス結合システムは差動同期を達成します。計算によると、ヤコビ行列 (22) の固有値は \({\lambda }_{1}={k}_{3}\)、\({\lambda }_{2}=({k}_{ 1}+{k}_{2}+\sqrt{{\left({k}_{1}-{k}_{2}\right)}^{2}-4})/2\), \({\lambda }_{3}=({k}_{1}+{k}_{2}-\sqrt{{\left({k}_{1}-{k}_{2} \right)}^{2}-4})/2\)、ここで \({k}_{1}\)、\({k}_{2}\)、\({k}_{3 }\) はフィードバック要素です。

フィードバック要素が満たされる場合

カオス系(1)、(2)、(17)間の差分同期が実現されます。

差分同期の有効性を検証するために、数値シミュレーションで方程式を解くために 4 次のルンゲ・クッタ法が使用されます。マスター Sprott A システムとスレーブ NE8 システムのパラメーターを a = 1、b = 1.47 とすると、初期条件はそれぞれ (0, 0.1, 0) と (− 0.1, − 1, 0.3) に設定されます。。初期条件 (0.1, 2, 0.1) の場合、提案システムのパラメータは \(\nu =0.3\) と見なされます。したがって、上記の分析によれば、この状況ではマスターシステムとスレーブシステムの両方がカオス状態になります。式で定義されたコントローラーが存在しない場合。 (20) のように、マスター/スレーブシステムの状態軌跡は、劇的にカオスな状態を示します。 t = 20 でコントローラーを適用し、フィードバック係数を \({k}_{1}={k}_{2}=- \, 4, {k}_{3}=- \, 1\) として選択します。、マスターシステムとスレーブシステムは、フィードバック制御技術を使用して短時間で差分同期されます。図 12a ～図 12c は、制御前後のマスター/スレーブシステムの状態の軌跡を示しています。

(a) \({m}_{21}{x}_{2}-{m}_{11}{x}_{1}\) と \({m}_{ の間の差分同期の状態軌跡) 31}{x}_{3}\)、(b) \({m}_{22}{y}_{2}-{m}_{12}{y}_{1}\) および \ ({m}_{32}{y}_{3}\)、(c) \({m}_{23}{z}_{2}-{m}_{13}{z}_{ 1}\) と \({m}_{33}{z}_{3}\)。

図 13a の誤差曲線は短時間でゼロに収束し、結合システムが差動同期していることが予測されます。図13bに示すように、t = 0で制御をオンにすると、システムの同期時間が大幅に短縮され、同期時間が初期条件の影響を受けることがわかります。図１３ｃに示す誤差関数のフィードバック制御係数は、\({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\)に調整される。より実用的なエンジニアリングシナリオに適応できるように、システムの同期時間が大幅に増加していることは明らかです。

(a) t = 20 および \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\) でコントローラーがアクティブになった場合の誤差関数の軌跡。 (b) t = 0 および \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\)。 (c) t = 0 および \({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\)。

この論文では、複数の平衡点を持つ新しい三次元対称カオス系を開発しました。開発されたシステムは、アトラクターが共存する一種のカオスシステムです。奇妙なアトラクター、対称的な特徴、分岐図、最大リアプノフ指数、引力の局所領域および双安定性挙動を含む動的挙動が議論されています。そして、数値解析によってカオスの挙動を調査し、カオス系の詳細な挙動を得る明確な道筋を与えました。理論システムの実現可能性をさらに確認するために、電子シミュレーションプラットフォーム Multisim を利用して、このカオスシステムをエミュレートする電子回路が実装されました。電子回路によって示されたすべての結果は、数値シミュレーションの結果とほぼ一致しています。さらに、フィードバック制御手法を使用して、構造の異なる 2 つのマスターシステム Sprott A と NE8 システム間の差分同期を実現します。これは、この研究で提案されたシステムが、将来の研究において自励発振器の設計や安全な通信などのカオスベースの工学アプリケーションに実用的である可能性があることを示しています。

この研究の結果を裏付けるデータは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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この研究は、中国国立自然科学財団 (助成金番号 61927803、61071025、61502538、および 61501525) および中国湖南省自然科学財団 (助成金番号 2015JJ3157) から資金提供を受けています。

中南大学物理電子学部、長沙、410083、中国

Haitao Qiu、Xuemei Xu、Kehui Sun、Can Cao

410083 中国、長沙市中南大学オートメーション学部

ジャン・ジャオホイ

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HQ と XX が手法を考案し、HQ が設計、シミュレーション、結果の分析と原稿の草稿に貢献し、XX、ZJ、KS および CC が原稿の最終版の批判的な改訂と承認に貢献しました。

Xuemei Xu への対応。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

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転載と許可

Qiu, H.、Xu, X.、Jiang, Z. 他動的挙動、回路設計、および共存するアトラクターを備えた新しい対称カオスシステムの同期。 Sci Rep 13、1893 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-28509-z

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受信日: 2022 年 9 月 15 日

受理日: 2023 年 1 月 19 日

公開日: 2023 年 2 月 2 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-28509-z

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動的挙動、回路設計、および共存するアトラクターを備えた新しい対称カオス システムの同期

動的挙動、回路設計、および共存するアトラクターを備えた新しい対称カオスシステムの同期